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En mathématiques, une C*-algèbre est une algèbre de Banach involutive, c'est à dire un espace vectoriel normé complet sur le corps des complexes, muni d'une involution notée * , et d'une loi de composition interne (produit), qui vérifient:

et

Exemples de C*-algèbres

• Soit X un espace compact, alors C(X), l'algèbre des fonctions continues sur X à valeurs complexes est une C*-algèbre commutative avec unité.
• Si X est localement compact, mais non compact, C₀(X), l'algèbre des fonctions continues sur X qui tendent vers zéro à l'infini est une C*-algèbre commutative sans unité.
• Si H désigne un espace de Hilbert, toute sous-algèbre fermée pour la norme d'opérateurs de l'algèbre des opérateurs bornés sur H est une C*-algèbre, a priori non commutative.

Spectre des éléments d'une C*-algèbre

Tout comme pour les opérateurs dans un espace de Hilbert, on peut définir le spectre des éléments d'une C*-algèbre. Le spectre de x est l'ensemble: . Cet ensemble suppose que l'algèbre contenant x ait une unité. Cependant, si ce n'est pas le cas, on peut toujours définir le spectre en adjoignant une unité à l'algèbre. (détailler la méthode pour adjoindre l'élément unité ?)

Classification des C*-algèbres commutatives

Une C*-algèbre commutative A est isométriquement isomorphe à C₀(X) où X est localement compact, et même compact si A a une unié. L'isomorphisme est construit via la transformée de Gelfand, et passe par l'étude des caractères de l'algèbre A.

Le calcul fonctionnel continu

Si x est un élément normal d'une C*-algèbre A (c'est à dire commutant à son adjoint), alors il existe un *-isomorphisme isométrique entre l'algèbre des fonctions continues sur le spectre de x et la sous-C*-algèbre de A engendrée par x et 1. Autrement dit, pour tout f continue sur σ(x), on peut définir f(x) de manière unique, comme un élément de A. Ce calcul fonctionnel prolonge le calcul fonctionnel polynomial, et σ(f(x)) = f(σ(x)) (théorème spectral).

La construction GNS

On doit à Gelfand, Naimark et Segal la construction d'un isomorphisme isométrique (ou représentation fidèle) entre toute C*-algèbre, et une sous-algèbre fermée de l'algèbre des opérateurs sur un certain espace de Hilbert H (que l'on construit en même temps que l'isomorphisme). La théorie des C*algèbre peut donc se ramener à la théorie des opérateurs sur les espaces de Hilbert.

Remarques

Le fait que les C*-algèbres commutatives sont des algèbres de fonctions permet de penser la théorie des C*-algèbre comme une théorie des fonctions non commutatives. Mais comme l'étude des fonctions continues sur un espace compact est équivalente à l'étude de la topologie de cet espace (par théorème de Banach-Stone), on donne plus volontiers à l'étude des C^*-algèbres le nom de topologie non commutative.

Voir aussi

• Analyse fonctionnelle : L'étude des C*-algèbres, notamment par son aspect spectral, est une branche de l'analyse fonctionnelle.
• Algèbre des opérateurs : L'étude des C*-algèbre peut se ramener à l'étude des opérateurs sur un hilbert par la construction GNS.
• K-théorie : Les outils de K-théorie, développés d'abord pour l'étude des fibrés, peuvent être adaptés à l'étude des C*-algèbres. On obtient en quelque sorte une topologie algébrique non commutative.
• Géométrie non commutative : Ce domaine cherche des analogues aux notions de la géométrie différentielle (connexions, cohomologie ...) dans le cadre non commutatif des algèbres d'opérateurs.