En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit libre de deux groupes G et H est un nouveau groupe, noté G∗H, qui contient G et H comme sous-groupes, est engendré par les éléments de ces sous-groupes, et constitue le groupe « le plus général » possédant ces propriétés.

Le produit libre est le coproduit, ou « somme », dans la catégorie des groupes, c'est-à-dire que la donnée de deux morphismes, de G et H dans un même groupe K, équivaut à celle d'un morphisme de G∗H dans K.

On définit de même le produit libre d'une famille (G_i)_i∊I de groupes. Lorsque tous les G_i sont égaux à ℤ, leur produit libre est le groupe libre F_I.

  Définition

Si G et H sont deux groupes, leur produit libre G∗H est défini comme le groupe (unique à isomorphisme près), dans lequel les groupes G et H s'injectent (i:G→G∗H et j:H→G∗H) avec la propriété universelle suivante :

Pour tout groupe K, pour tous morphismes g:G→K et h:H→K, il existe un unique morphisme f:G∗H→K qui prolonge à la fois g et h, c'est-à-dire tel que f∘i=g et f∘j=h.

Autrement dit, le produit libre est le coproduit (ou somme) dans la catégorie des groupes, par opposition au produit direct d'une famille de groupes, qui est un exemple de produit en théorie des catégories.

Cette définition s'étend en remplaçant (G,H) par une famille quelconque de groupes.

  Construction

L'unicité de G∗H est assurée par sa propriété universelle. Justifions son existence.

Un mot sur G et H est un produit formel s₁s₂…s_n où chaque s_i est un élément de G ou de H. On peut réduire un tel mot en répétant le plus possible les deux opérations :

• effacer une occurrence de l'élément neutre de G ou de H
• remplacer une succession de deux éléments de G par un seul élément : leur produit dans G, ou une succession de deux éléments de H par leur produit dans H.

Tout mot ainsi réduit est formé par une alternance d'éléments de G et d'éléments de H, par exemple g₁h₁g₂h₂…g_kh_k (ou encore g₁h₁g₂h₂…h_k-1g_k, ou h₁g₁h₂g₂…h_kg_k, ou enfin h₁g₁h₂g₂…g_k-1h_k).

Le produit libre G∗H est l'ensemble de ces mots réduits, muni de l'opération de concaténation puis réduction. Un produit libre est donc toujours infini, sauf bien sûr le produit libre d'un groupe fini par des groupes triviaux.

  Présentations

Si G et H sont décrits par générateurs et relations

alors une présentation de G∗H est :

Par exemple :

• si G est le groupe cyclique d'ordre 2 et H celui d'ordre 3 : alors G∗H=ℤ₂∗ℤ₃ est le groupe isomorphe au groupe projectif spécial linéaire PSL(2,ℤ) ;
• comme il n'y a aucune relation dans un groupe libre, tout produit libre de groupes libres est un groupe libre. Plus précisément, le groupe libre F_α de rang α est le produit libre de α copies de ℤ, et le produit libre de F_α par F_β est isomorphe à F_α+β.

  Généralisations

  Produit libre amalgamé

De même que le produit libre est la somme dans la catégorie des groupes, le produit libre amalgamé, qui le généralise, est défini comme la somme amalgamée dans cette catégorie.

Soient G et H deux groupes, et F un troisième groupe, muni de morphismes φ:F→G et ψ:F→H. On peut construire le produit libre amalgamé G∗_FH de G et H au-dessus de F à partir du produit libre G∗H en quotientant par les relations φ(f)=ψ(f). Un peu plus formellement : G∗_FH est le quotient de G∗H par le sous-groupe normal engendré (en) par les φ(f) ψ(f)^-1 quand f parcourt F (on ne va pas jusqu'à formaliser les injections canoniques de G et H dans G∗H, qu'on assimile à des inclusions).

Par exemple, SL(2,ℤ) est un produit libre amalgamé de deux groupes cycliques d'ordres 4 et 6 au-dessus d'un sous-groupe d'ordre 2.

  Produit libre d'algèbres

On peut définir de même le produit libre pour d'autres structures algébriques que les groupes, comme les algèbres associatives (sur un anneau commutatif donné). En théorie des probabilités libres (de), ce produit libre d'algèbres de variables aléatoires joue le même rôle, pour définir l'indépendance libre (en), qu'en théorie classique des probabilités le produit tensoriel (correspondant au produit des espaces mesurés sous-jacents), pour définir l'indépendance.

  Applications

En topologie algébrique, le théorème de van Kampen établit (sous certaines hypothèses de connexité par arcs) que le groupe fondamental d'un bouquet de deux espaces pointés est le produit libre de leurs groupes fondamentaux et plus généralement, que le groupe fondamental d'une réunion de deux ouverts est un produit libre amalgamé de leurs groupes fondamentaux.

En théorie de Bass-Serre (en), on montre que tout groupe muni d'une action à stabilisateurs finis sur un arbre peut être construit à partir de groupes finis par produits libres amalgamés et extensions HNN. Par exemple, l'action du groupe modulaire sur un certain pavage du plan hyperbolique permet d'exprimer ce groupe sous la forme ℤ₄∗_ℤ2ℤ₆.

  Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Free product » (voir la liste des auteurs)
• (en) Thomas W. Hungerford (en), Algebra, Springer, coll. « GTM » (n^o 73), 1974 (ISBN 978-0-387-90518-1), p. 67-68 
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]

  Voir aussi

  Articles connexes

• Graphe de groupes
• Lemme du ping-pong (en)
• Théorème de Kurosh sur les sous-groupes d'un produit libre (en)
• Théorème de Grushko (en)

  Liens externes

• (en) Free product de PlanetMath
• (en) Free product with amalgamated subgroup de PlanetMath

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