Shephards Lemma : definition of Shephards Lemma and synonyms of Shephards Lemma (German)

Shephards Lemma (auch Lemma von Shephard) besagt in der Haushaltstheorie, dass die Hicks’sche Nachfragefunktion nach einem Gut $x_i$ der Ableitung der Ausgabenfunktion nach dem Preis dieses Gutes entspricht. In der Theorie der Unternehmung besagt es, dass die bedingte Faktornachfrage nach einem Produktionsfaktor $x_i$ der Ableitung der Kostenfunktion nach dem Faktorpreis dieses Produktionsfaktors entspricht. Die beiden Anwendungen sind mathematisch äquivalent.

Benannt ist das Lemma nach dem amerikanischen Ökonomen und Statistiker Ronald Shephard.

Inhaltsverzeichnis

1 Darstellung
- 1.1 Theorie des Haushalts
- 1.2 Theorie der Unternehmung
2 Herleitung
3 Siehe auch
4 Literatur
5 Einzelnachweise

Darstellung

Theorie des Haushalts

Man geht zunächst von einem Ausgabenminimierungsproblem aus, das durch

$\min_{(x_{1},\ldots,x_{n})\in\mathbb{R}_{+}^{n}}\sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i}$ unter der Nebenbedingung $u(x_{1},\ldots,x_{n})=\overline{u}$

gegeben ist, wobei $u(\cdot)$ stetig, differenzierbar und strikt quasikonkav sei. Dabei werden die Gesamtausgaben für die $n$ Güter aus dem Warenkorb minimiert, wobei aber ein gewisses Nutzenniveau gewahrt werden soll. Die Lösung eines solchen Ausgabenminimierungsproblems ist bestimmungsgemäß eine Funktion $\mathbf{x}^{*}$ , die anzeigt, welche Menge von den jeweiligen Gütern nachgefragt werden sollte, um das gegebene Nutzenniveau möglichst kostengünstig zu erzielen. Es ist folglich $\mathbf{x}^{*}$ eine Funktion des Preisvektors $\mathbf{p}=(p_{1},\ldots,p_{n})$ und des festgelegten Nutzenniveaus $\overline{u}$ . Man bezeichnet das so gegebene $\mathbf{x}^{*}$ als Hick'sche Nachfrage und vereinbart $\mathbf{x}^{*}(\mathbf{p},\overline{u})\equiv\mathbf{x}^{h}(\mathbf{p},\overline{u})$ .

Die diesem $\mathbf{x}^{*}$ zugehörige so genannte Optimalwertfunktion ist gegeben durch die ursprünglich minimierte Funktion, in die man nun das erhaltene $\mathbf{x}^{*}$ einsetzt. Man bezeichnet sie als Ausgabenfunktion $e$ :

$e=e(\mathbf{p},\overline{u})=\sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i}^{h}(\mathbf{p},\overline{u})$

Sie liefert die tatsächlichen Ausgaben, die im Ausgabenminimum für gegebenes Nutzenniveau zu tätigen sind.

Shephards Lemma in der Haushaltstheorie^[1]: Die Hick’sche Nachfrage nach einem Gut $x_{j}$ ist gegeben durch die partielle Ableitung der Ausgabenfunktion nach dem Preis $p_{j}$ des Gutes:

$\frac{\partial e(\mathbf{p},\overline{u})}{\partial p_{j}}=x_{j}^{h}(\mathbf{p},\overline{u})$

Theorie der Unternehmung

Man geht zunächst von einem Kostenminimierungsproblem aus, das durch

$\min_{(x_{1},\ldots,x_{n})\in\mathbb{R}_{+}^{n}}\sum_{i=1}^{n}w_{i}x_{i}$ unter der Nebenbedingung $f(x_{1},\ldots,x_{n})=y$

gegeben ist, wobei $f(\cdot)$ stetig, differenzierbar und strikt quasikonkav sei. Dabei werden die Gesamtausgaben für die $n$ Produktionsfaktoren minimiert, wobei aber eine gewisse Outputmenge $y$ hervorgebracht werden soll ( $f$ ist die Produktionsfunktion). Die Lösung eines solchen Kostenminimierungsproblems ist bestimmungsgemäß eine Funktion $\mathbf{x}^{*}$ , die anzeigt, welche Menge von den jeweiligen Faktoren nachgefragt werden sollte, um das gegebene Produktionsziel möglichst kostengünstig zu erreichen. Es ist folglich $\mathbf{x}^{*}$ eine Funktion des Faktorpreisvektors $\mathbf{w}=(w_{1},\ldots,w_{n})$ und des festgelegten Outputniveaus $y$ . Man bezeichnet das so gegebene $\mathbf{x}^{*}$ als bedingte Faktornachfrage.

$c=c(\mathbf{w},y)=\sum_{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{*}(\mathbf{w},y)$

Sie liefert die tatsächlichen Kosten, die im Kostenminimum für eine gegebene Outputmenge anfallen.

Shephards Lemma in der Theorie der Unternehmung^[2]: Die bedingte Faktornachfrage nach einem Produktionsfaktor $x_{j}$ ist gegeben durch die partielle Ableitung der Kostenfunktion nach dem Preis $w_{j}$ des Produktionsfaktors:

$\frac{\partial c(\mathbf{w},y)}{\partial w_{j}}=x_{j}^{*}(\mathbf{w},y)$

Herleitung

Das Theorem ist eine direkte Anwendung des Envelope-Theorems.

Siehe auch

Literatur

Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
Ronald W. Shephard: Cost and production functions. Springer, Berlin 1981, ISBN 3-540-11158-1 (Nachdr. d. Ausg. Princeton 1953).

Einzelnachweise

↑ Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 35–39.
↑ Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 136–138.

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Wikipedia

Shephards Lemma