» 
Arabic Bulgarian Chinese Croatian Czech Danish Dutch English Estonian Finnish French German Greek Hebrew Hindi Hungarian Icelandic Indonesian Italian Japanese Korean Latvian Lithuanian Malagasy Norwegian Persian Polish Portuguese Romanian Russian Serbian Slovak Slovenian Spanish Swedish Thai Turkish Vietnamese
Arabic Bulgarian Chinese Croatian Czech Danish Dutch English Estonian Finnish French German Greek Hebrew Hindi Hungarian Icelandic Indonesian Italian Japanese Korean Latvian Lithuanian Malagasy Norwegian Persian Polish Portuguese Romanian Russian Serbian Slovak Slovenian Spanish Swedish Thai Turkish Vietnamese

definition - Trigonometri

definition of Wikipedia

   Advertizing ▼

analogical dictionary

Wikipedia

Trigonometri

Från Wikipedia

Hoppa till: navigering, sök
Känner man till vinkeln x kan man med räknesätten sin, cos och tan räkna ut triangelns proportioner.

Trigonometri, läran om förhållandet mellan vinklar och sidor i en triangel. Trigonometrin har sina största praktiska, direkta tillämpningar inom lantmäteri och navigation där den används för triangulering, men används teoretiskt inom ett flertal områden inom matematiken , bland annat geometri och komplex analys och därmed även fysik.

Innehåll

Historia

En föregångare till trigonometrin användes i forntida Egypten och Babylonien, där satser om kvoter mellan sidorna i likformiga trianglar hade varit känt i flera hundra år. Dock fanns inget koncept om vinklar.

Grekiska matematiker använde sig av korda och Euklides formulerade i Elementa satser som i princip är samma som cosinussatsen, även om han använde ett geometriskt språk för att beskriva dem.

Den indiska matematikern Aryabhata gjorde år 499 tabeller med både sinus (som han kallade zya) och cosinus (kotizya). Han hade också med sekanten (otkram zya).

Detaljerade metoder för att konstruera en tabell med sinus för vilken vinkel som helst gavs av den indiska matematikern Bhaskara under 600-talet, tillsammans med formler för sinus och cosinus. En annan indisk matematiker, Brahmagupta, använde år 628 interpolationformeln för att räkna ut olika sinusvärden, upp till andra ordningen i Newton-Stirlings interpolationsformel.

Den persiska matematikern Omar Khayyám använde approximativa trigonometriska värden för att lösa algebraiska ekvationer. Khayyam löste tredjegradsekvationen x3 + 200x = 20x2 + 2000 och fann en positiv rot av denna tredjegradsekvation genom att hitta korsningen mellan en hyperbel och en cirkel.

Den persiska matematikern Nasir al-Sin Tusi (1300-talet) var tillsammans med Bhaskara troligen den första att behandla trigonometri som bestämd matematik. Nasir al-Sin Tusi var den förste som listade de sex bestämda fallen av en högervinklad triangel i sfärisk trigonometri.

På 1400-talet, producerade den persiska matematikern al-Kashi och den timuridiska matematikern Ulugh Beg (Timur Lenks barnbarn) tabeller av trigonometriska funktioner som en del av deras astronomistudier.

Den schlesiska matematikern Bartholemaeus Pitiscus offentliggjorde ett inflytelserikt arbete på trigonometri år 1595 och introducerade ordet i engelska och franska.

Överblick

Rätvinkliga trianglar

En rätvinklig triangel med hypotenusan c och katetrarna a och b.

En rätvinklig triangel är en triangel där en av vinklarna är 90 grader. Sidan som är motsatt den räta vinkeln kallas för hypotenusa och de två andra sidorna kallas katetrar. Om man känner till ytterligare en vinkel i en rätvinklig triangel känner man även till den tredje vinkeln, eftersom en triangels vinkelsumma är 180 grader. En triangels form är bestämd, upp till likformighet, av vinklarna. Detta ger att om man känner till en vinkel i en rätvinklig triangel, är även kvoten mellan sidorna känd. Detta samband ges av de trigonometriska funktionerna av en känd vinkel A, där a, b och c syftar på sidorna i triangeln i bilden till höger.

  • Funktionen sinus är kvoten mellan sidan motsatta sidan till vinkeln och hypotenusan.
\sin A = \frac{a}{c}
  • Funktionen cosinus är kvoten mellan närliggande sidan till vinkeln och hypotenusan.
\cos A = \frac{b}{c}
  • Funktionen tangens är kvoten mellan motstående och närliggande sidas längd.
\tan A = \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\cos A}

Med dessa funktioner kan man, givet exempelvis en sida och en vinkel, räkna ut alla sidor och vinklar i en rätvinklig triangel.

Större definitionsområde

Fil:Sin drawing process.gif
Animation på hur grafen till y = sin x (där x är vinkeln i radianer) ritas upp med en enhetscirkel.
Fil:Tan drawing process.gif
Animation på hur grafen till y = tan x (där x är vinkeln i radianer) ritas upp med en enhetscirkel.

Med definitionen ovan är de trigonometriska funktionerna endast definierade för vinklar mellan 0 och 90 grader (0 och π/2 radianer). Med hjälp av enhetscirkeln kan cosinus och sinus definieras som periodiska funktioner med period 360 grader (2π radianer).

Allmänna trianglar

Sinus, tangens och secans i en tabell från 1619.

För trianglar som inte är rätvinkliga finns ett antal användbara trigonometriska formler, detta gör att man kan räkna ut alla sidor och vinklar i en triangel bara man känner till två sidor och en vinkel eller två vinklar och en sida.

  • Sinussatsen säger att kvoterna mellan sinus av vinklarna och motstående sidor är identiska:
\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}
\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}
  • Cosinussatsen ger ett samband mellan en sida, den mostående vinkeln och de två andra sidorna:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha\,
  • Tangenssatsen uttrycker ett samband mellan två sidor och deras motstående vinklar:
\frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan (\frac{1}{2}(\alpha - \beta))}{\tan (\frac{1}{2}(\alpha + \beta))}

Beräkning av trigonometriska funktioner

Trigonometriska funktioner skrevs förr upp i matematiska tabeller och elever lärdes att interpolera mellan tabellvärden för högre precision. Även räknestickor har vanligtvis trigonometriska funktioner.

Idag är många miniräknare utrustade med knappar för sinus, cosinus och tangens. Ofta kan man även välja hur man vill mata in vinklarna, i grader, radianer eller gon.

Dagens trigonometri

Det finns ett enormt antal av sätt att använda trigonometri. I tekniken av att använda trigonometri i astronomi, för att mäta avståndet mellan oss och en del närliggande stjärnor, för att mäta avstånd mellan olika byggnader, och i satellitnavigationssystem. Andra områden där trigonometri används är bland annat: musikteori, akustik, optik, analys av finansiella marknader, elektronik, sannolikhetsteori, statistik, biologi, medicinsk bildbehandling (datortomografi och ultraljud), apotek, kemi, talteori (kryptologi), seismologi, metrologi, oceanografi, många naturvetenskaper, lantmäteri, geodesi, arkitektur, fonetik, ekonomi, elektroteknik, maskinteknik, väg- och vattenbyggnadsteknik, datorgrafik, kartografi, kristallografi och spelutveckling.

Ett alternativt synsätt på trigonometrin har nyligen blivit framlagt av doktor Norman Wildberger från University of New South Wales. Han kallar denna för rationell trigonometri, och den skiljer sig från klassisk trigonometri på två fundamentala punkter: istället för längd använder han kvadraten av längden, och istället för vinkeln, använder han ett icke-linjärt mått av speration som går från 0 (för parallella linjer) till 1 (vinkelräta linjer). Rationell trigonometri använder inte några transcendenta tal, och kan lösas genom att endast använda algebra och kvadratiska ekvationer.

Externa länkar

  • GonioLab: Visualisering av enhetscirkeln, trigonometriska och hyperboliska funktioner (Java Web Start)

   Advertizing ▼

 

All translations of Trigonometri


sensagent's content

  • definitions
  • synonyms
  • antonyms
  • encyclopedia

  • synonym

Dictionary and translator for handheld

⇨ New : sensagent is now available on your handheld

   Advertising ▼

sensagent's office

Shortkey or widget. Free.

Windows Shortkey: sensagent. Free.

Vista Widget : sensagent. Free.

Webmaster Solution

Alexandria

A windows (pop-into) of information (full-content of Sensagent) triggered by double-clicking any word on your webpage. Give contextual explanation and translation from your sites !

Try here  or   get the code

SensagentBox

With a SensagentBox, visitors to your site can access reliable information on over 5 million pages provided by Sensagent.com. Choose the design that fits your site.

Business solution

Improve your site content

Add new content to your site from Sensagent by XML.

Crawl products or adds

Get XML access to reach the best products.

Index images and define metadata

Get XML access to fix the meaning of your metadata.


Please, email us to describe your idea.

WordGame

The English word games are:
○   Anagrams
○   Wildcard, crossword
○   Lettris
○   Boggle.

Lettris

Lettris is a curious tetris-clone game where all the bricks have the same square shape but different content. Each square carries a letter. To make squares disappear and save space for other squares you have to assemble English words (left, right, up, down) from the falling squares.

boggle

Boggle gives you 3 minutes to find as many words (3 letters or more) as you can in a grid of 16 letters. You can also try the grid of 16 letters. Letters must be adjacent and longer words score better. See if you can get into the grid Hall of Fame !

English dictionary
Main references

Most English definitions are provided by WordNet .
English thesaurus is mainly derived from The Integral Dictionary (TID).
English Encyclopedia is licensed by Wikipedia (GNU).

Copyrights

The wordgames anagrams, crossword, Lettris and Boggle are provided by Memodata.
The web service Alexandria is granted from Memodata for the Ebay search.
The SensagentBox are offered by sensAgent.

Translation

Change the target language to find translations.
Tips: browse the semantic fields (see From ideas to words) in two languages to learn more.

last searches on the dictionary :

1000 online visitors

computed in 1.077s

I would like to report:
section :
a spelling or a grammatical mistake
an offensive content(racist, pornographic, injurious, etc.)
a copyright violation
an error
a missing statement
other
please precise:

Advertize

Partnership

Company informations

My account

login

registration

   Advertising ▼