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DEUM

botella s f 1 Recipiente que sirve para contener líquidos, generalmente de vidrio, cilíndrico y de cuello angosto: una botella de vino, una botella de cerveza 2 Cantidad de líquido contenida en uno de estos recipientes 3 Unidad de medida de capacidad, que tiene varias equivalencias en el país, todas cercanas a los ¾ de litro 4 Biberón: «Hay que hervir las botellas y los chupones antes de dárselos al bebé» 5 Ser alguien dado a la botella (Coloq) Ser un borracho 6 Botella de Klein (Mat) Aquella que está formada por una superficie cerrada, continua y sin bordes que se corta a sí misma, por lo que tiene una sola cara y no tiene ni interior ni exterior. La continuidad está dada porque el cuello, alargado y curvado, pasa a través de una de las paredes del recipiente y llega al fondo en el que hay una abertura circular con la cual se une 7 Botella de Leyden (Elect) Condensador simple hecho con un recipiente de vidrio y una lámina delgada de metal en su superficie interior y exterior.

definition - botella de klein

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Wikipedia

Botella de Klein

                   
  Una representación bidimensional de la Botella de Klein inmersa en el espacio tridimensional.

En topología, una botella de Klein es una superficie no orientable abierta cuya característica de Euler es igual a 0 ; no tiene interior ni exterior. Otros objetos no-orientables relacionados son la banda de Möbius y el plano proyectivo real. Mientras que una banda de Möbius es una superficie con borde, una botella de Klein no tiene borde. Tampoco lo tiene una esfera, aunque ésta sí es orientable.

La botella de Klein fue descrita por primera vez en 1882 por el matemático alemán Felix Klein. El nombre original del objeto no fue el de botella de Klein (en alemán Kleinsche Flasche), sino el de superficie de Klein (en alemán Kleinsche Fläche). El traductor de la primera referencia al objeto del alemán al inglés confundió las palabras. Como la apariencia de la representación tridimensional recuerda a una botella, casi nadie se dio cuenta del error.

Contenido

  Construcción

Comenzamos con un cuadrado, y pegamos los bordes coloreados en el diagrama siguiente, de modo que las flechas coincidan. Más formalmente, la botella de Klein es el cociente del cuadrado [0,1] × [0,1] con sus bordes identificados por la relación (0, y) ~ (1, y) para 0 ≤ y ≤ 1, y (x, 0) ~ (1 − x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1:

Klein Bottle Folding 1.svg

Este cuadrado es el polígono fundamental de la botella de Klein.

Nótese que éste es un pegado "abstracto" en el sentido de que, al tratar de hacerlo en tres dimensiones, resulta una botella de Klein que se autointerseca. La botella de Klein, propiamente dicha, no tiene autointersecciones. No obstante, hay un modo de visualizar la botella de Klein como figura en cuatro dimensiones.

Para ello, pegamos las flechas rojas del cuadrado, (lados derecho e izquierdo) resultando un cilindro. Para pegar los extremos de manera que las flechas de los círculos coincidan, pasamos un extremo por el lado del cilindro. Nótese que esto crea una autointersección circular. Esta es una inmersión de la botella de Klein en tres dimensiones.

Añadiendo una cuarta dimensión al espacio tridimensional, conseguimos que la botella pase a través de sí misma sin necesidad de un agujero. Para ello empujamos suavemente un trozo de tubo que contenga la intersección fuera del espacio tridimensional original. Una analogía útil es considerar una curva que se autointerseca en el plano; las intersecciones se pueden eliminar levantando una línea fuera del mismo.

Esta inmersión es útil para visualizar muchas propiedades de la botella de Klein. Por ejemplo, no tiene borde (donde la superficie se detenga abruptamente), y no es orientable, al tener su inmersión una sola cara.

  Una botella de Klein soplada a mano

  Como fibrado

Esta superficie (simbolizada por K) puede considerarse como el espacio total de un fibrado (no trivial) sobre el círculo donde la fibra es también un círculo, i.e. S^1\subset K\to S^1. En contraste el toro también es un fibrado, pero es trivial, esto es T=S^1\times S^1.

  Sección

  La sección de una botella de Klein en bandas de Möbius.

Seccionando una botella de Klein en dos mitades a lo largo de su plano de simetría resultan dos bandas de Möbius, cada una imagen especular de la otra. Una de ellas es la imagen de la derecha. Recuerde que la intersección de la imagen no está realmente allí. De hecho, también es posible cortar la botella de Klein en una única banda de Möbius.

  Otro concepto con el mismo nombre

En la geometría algebraica, una superficie de Klein, que se diferencia de la botella de Klein, es el similar de una superficie de Riemann en el sentido de que una superficie de Klein admite una estructura di-analítica, es decir una estructura analítica que adiciona una posible función de transición a una estructura analítica -consistente en la conjugación compleja- determina una que es anti-analítica.

  Véase también

  Referencias

  Bibliografía

  Enlaces externos

   
               

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