En mathématiques, et plus précisément en géométrie, les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre elles.

Sommaire 1 Définition purement géométrique euclidienne 2 Définition purement projective 3 Définition monofocale 3.1 Définition 3.2 Mise en équation 4 Définition bifocale 5 Définition analytique 5.1 Cas affine 5.2 Cas projectif 5.3 Cas barycentrique 6 Liens entre les définitions 6.1 Définition monofocale et définition bifocale 6.2 Définition géométrique et définition bifocale 7 Articles connexes 8 Bibliographie

  Définition purement géométrique euclidienne

Les coniques forment une famille de courbes planes résultant de l'intersection d'un plan avec un cône de révolution.

Dans la suite toutefois, on omettra le plus souvent de la définition des coniques, les cas où le cône est lui-même dégénéré, ce qui survient si :

• l'angle d'ouverture du cône est maximal (angle droit à 90 °), auquel cas le cône se réduit à un seul plan, dont l'intersection avec un autre plan peut être soit vide, soit le même plan, soit le plus souvent une droite ;
• l'angle d'ouverture du cône est minimal (angle nul à 0 °), auquel cas le cône se réduit à une seule droite, dont l'intersection avec un autre plan peut être soit vide, soit la même droite, soit le plus souvent un simple point.

Selon les positions relatives du plan de coupe et du cône (non dégénéré selon la définition ci-dessus), on obtient différents types de coniques :

• Les coniques propres, quand le plan de coupe ne passe pas par le sommet du cône. On distingue trois sortes de coniques propres en fonction de l'angle d’inclinaison du plan de coupe avec l’axe du cône :
  • si cet angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture, l'intersection est une hyperbole ;
    • dans le cas particulier où l'angle d'inclinaison est inférieur d'exactement 45° à l'angle d'ouverture du cône, cet hyperbole est même équilatère (ce cas particulier n'existe pas si l'angle d'ouverture du cône n’est pas lui-même d’au minimum 45°, c'est-à-dire si le cône est aigu ; si l’angle d’ouverture du cône est exactement 45°, le plan de coupe doit être parallèle à l'axe du cône pour que l'intersection soit une hyperbole équilatère) ;
  • si cet angle d'inclinaison est égal à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est une parabole ;
  • si cet angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est une ellipse (cette ellipse est une des courbes directrices du cône) ;
    • dans le cas maximal où l'angle d'inclinaison du plan de coupe est droit, cette ellipse est même un cercle (lui aussi une des courbes directrices du cône).
• Les coniques dégénérées, quand le plan contient le sommet du cône. Là encore, on distingue trois sortes de coniques dégénérées en fonction de l'angle d’inclinaison du plan de coupe avec l’axe du cône :
  • si cet angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à un couple de droites sécantes (deux génératrices du cône, passant toutes deux par le sommet du cône).
  • si cet angle d'inclinaison est égal à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à une seule droite (une des génératrices du cône passant par le sommet du cône, et où le plan de coupe et le cône sont tangents) ;
  • si cet angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à un seul point (le sommet du cône).

  Définition purement projective

Il s'agit de définir les coniques sans distances, sans angles, juste avec la règle, le crayon et une poignée d'axiomes, dans la plus pure tradition de Blaise Pascal et Girard Desargues.

  Définition monofocale

La définition monofocale des coniques est encore appelée définition par foyer et directrice de ces coniques.

  Définition

Dans un plan (p), on considère une droite (D) et un point non situé sur (D). Soit un réel strictement positif.

On appelle conique de droite directrice (D), de foyer et d'excentricité l'ensemble des points du plan (p) vérifiant :

où

mesure la distance du point M au point F

et

mesure la distance du point M à la droite (D)

Les ellipses sont des courbes fermées et bornées ; les paraboles sont ouvertes et infinies ; les hyperboles possèdent deux branches symétriques par rapport au point d'intersection de leurs asymptotes communes.

  Mise en équation

Soit O la projection orthogonale du point F sur la droite (D). Dans le plan (p) on définit alors le repère orthogonal (O, (OF), (D)).

Soit h la distance de O à F (le produit p = eh s'appelle le paramètre de la conique depuis Pierre Hérigone). Dans le repère défini précédemment F a pour coordonnées (h,0).

Pour un point M de coordonnées on peut exprimer les distances précédentes à l'aide des deux formules suivantes :

ce qui implique en élevant [1] au carré et en utilisant [2] et [3] :

soit après simplification :

En fonction des valeurs de e on obtient plusieurs types de courbes :

• Si un cercle
• Si une ellipse
• Si une parabole
• Si une hyperbole

Il est possible de déterminer la nature de la conique avec la matrice de la forme quadratique :

• Si un genre ellipse
• Si un genre parabole
• Si un genre hyperbole

Les coniques dégénérées s'obtiennent en modifiant les conditions précédentes

• Si F est sur (D), on obtient :
  • Si le point O (qui est aussi le point F);
  • Si la droite perpendiculaire à (D) passant par F;
  • Si deux droites sécantes ;
• Si , le point O (qui est aussi le point F).

Il n'existe donc pas de définition de cercle par foyer et directrice. En revanche, si eh = r et si e tend vers 0 (ce qui augmente à l'infini la distance entre le foyer et la directrice), l'ellipse se rapproche d'un cercle de centre F et de rayon r

  Définition bifocale

L'ellipse peut être définie comme le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes appelés foyers de l'ellipse est constante et égale à une valeur fixée. Cette définition reste valable dans le cas du cercle, dans lequel les foyers sont confondus.

L'hyperbole peut être définie comme le lieu des points dont la valeur absolue de la différence des distances à deux points fixes appelés foyers de l'hyperbole est constante et égale à une valeur fixée.

La parabole n'a pas de définition bifocale.

  Définition analytique

  Cas affine

En géométrie analytique affine, les coniques sont les courbes planes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les courbes planes dont les coordonnées cartésiennes x et y des points sont solution d'une équation polynômiale du second degré, de la forme :

avec l'un au moins des trois coefficients A, B ou C non nul pour que l'équation soit effectivement du second degré ( condition (1) ).

Suivant le repère utilisé, l'expression de l'équation sera plus ou moins simple, mais restera toujours du second degré. Il est intéressant de chercher le repère dans lequel l'expression de l'équation, dite équation réduite, sera la plus simple.

Pour cela, nous pouvons remarquer d'abord qu'il est toujours possible de rendre le coefficient B nul en changeant de repère via une rotation ou une symétrie orthogonale.

Nous regardons ensuite les coefficients A et C :

• Si le coefficient C est lui aussi nul, A est alors forcément non nul ( condition (1) ), et une translation suivant l'axe des x permet ainsi d'annuler le coefficient D.

• Si E est nul, en posant   p = - F / A ,   l'équation se réduit à :

Suivant le signe de p, nous obtenons 0 à 2 droites parallèles.

• Si E est non nul, une translation suivant l'axe des y annule F. En posant   p = - A / E ,   nous obtenons l' équation cartésienne réduite d'une parabole :

• Si le coefficient A est nul, on obtient la situation symétrique de la précédente où x et y voient leurs rôles échangés. On obtient donc encore :

• Si D est nul, 0 à 2 droites parallèles,
• Si D est non nul, une parabole d'équation réduite :

• Si les coefficients A et C sont tous les deux non nuls, une translation suivant l'axe des x annule D, et une translation suivant les y annule E. L'équation se réduit donc à :

• Si A et C sont de même signe :

- si F est lui aussi du même signe, il n'y a pas de courbe correspondante;

- si F est nul, la courbe se réduit à un point;

- si F est de signe opposé, nous pouvons poser   a ² = - F / A   et   b ² = - F / C ;   nous parvenons ainsi à l' équation cartésienne réduite d'une ellipse :

• Si A et C sont de signes opposés :

- si F est nul, la courbe se réduit à 2 droites sécantes (= qui se croisent);

- si F est du signe de A, nous pouvons poser   a ² = F / A   et   b ² = - F / C ;   nous parvenons ainsi à l' équation cartésienne réduite d'une hyperbole :

- si F est du signe de C, nous pouvons poser   a ² = - F / A   et   b ² = F / C ;   nous parvenons ainsi à l'autre équation cartésienne réduite d'une hyperbole :

  Cas projectif

En géométrie analytique projective, les coniques sont encore les courbes planes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les courbes planes dont les points ont des coordonnées projectives X, Y et Z qui vérifient une équation polynômiale homogène du second degré de la forme (voir coordonnées homogènes):

On travaille donc dans le plan projectif où un point générique a pour coordonnées homogènes , et deux coordonnées homogènes proportionnelles ( et , pour un certain ) désignent le même point du plan. Notre plan projectif contient plusieurs exemplaires du plan affine ; notamment l'ensemble des points admettant des coordonnées homogènes de la forme .

On peut noter alors que pour Z = 1, on retrouve l'équation du cas affine. En fait, on a :

  et  

Une première question qu'on se pose est alors : en se limitant à l'image de la conique dans le plan affine ci-dessus défini, quel type de conique affine retrouve-t-on? (et même, retrouve-t-on bien une conique affine?). Pour ce faire, on regarde d'abord leur comportement à l'infini (présence d'asymptotes ou de branches paraboliques,...). Faire tendre x et y vers l'infini revient à faire tendre Z vers 0. Pour Z = 0, l'équation précédente se réduit à :

Cette équation est appelée équations aux directions asymptotiques, car le rapport Y / X donne alors la pente à l'infini de la courbe, c'est-à-dire sa direction asymptotique.

• Si   C = 0 :

• si   B = 0 ,   l'équation a une solution X = 0 de multiplicité double, ce qui correspond à une pente à l'infini infinie, donc à une direction asymptotique verticale double; la courbe est donc soit une parabole d'axe vertical, soit 0 à 2 droites verticales parallèles;
• si B est non nul, nous obtenons deux directions asymptotiques simples, l'une verticale, l'autre non; la courbe est donc soit une hyperbole, soit 2 droites concourantes;

• Si C est non nul, en posant t = Y / X, l'équation devient :

• si le discriminant de cette équation est strictement positif, nous obtenons 2 directions asymptotiques simples distinctes, et la courbe est soit une hyperbole, soit 2 droites concourantes;
• si le discriminant de cette équation est nul, nous obtenons une direction asymptotique double, et la courbe est soit une parabole, soit 0 à 2 droites parallèles;
• si le discriminant de cette équation est strictement négatif, la courbe n'a pas de direction asymptotique, donc pas de branches infinies, et la courbe, si elle existe, est soit une ellipse, soit un point.

Cependant, le véritable intérêt de l'utilisation de la géométrie projective est ailleurs. La classification qui a été faite dans le cas affine, et réinterprétée dans le cadre projectif, se base sur des changements de coordonnées affines ; et qui peuvent s'interpréter, le plan affine étant vu comme une partie du plan projectif, comme les changements de coordonnées projectifs qui laissent fixe la droite à l'infini (c'est-à-dire les points du plan projectif de la forme ). Il existe évidemment beaucoup d'autres changements de coordonnées projectifs, et s'autoriser à les utiliser va permettre d'assouplir grandement la classification des coniques. En fait, la classification des coniques projectives provient directement de celle des forme bilinéaire symétrique sur l'espace vectoriel de dimension 3 sous-jacent à notre plan projectif.

  Cas barycentrique

En géométrie analytique barycentrique, les coniques sont toujours les courbes planes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les courbes planes dont les points ont des coordonnées barycentriques λ, μ et ν qui vérifient une équation polynômiale homogène du second degré de la forme :

On peut identifier cette équation à la précédente, en posant :

On obtient alors, à un coefficient multiplicatif près :

  Liens entre les définitions

  Définition monofocale et définition bifocale

Les paraboles admettent un et un seul couple foyer/directrice au sens de la définition monofocale, et l'excentricité correspondante vaut 1.

Ellipses et hyperboles admettent exactement deux couples foyer/directrice au sens de la définition monofocale, et ceux-ci correspondent à une même valeur de l'excentricité. Ils sont symétriques par rapport au centre de l'ellipse ou au point d'intersection des asymptotes de l'hyperbole. Ces foyers sont les points intervenant dans la définition bifocale.

  Définition géométrique et définition bifocale

Les foyers et les directrices des coniques peuvent être déterminés géométriquement dans le cadre de la définition des coniques comme intersection d'un cône et d'un plan ne passant pas par le centre de celui-ci.

Il existe, selon l'orientation du plan par rapport à l'axe du cône, une (cas des paraboles) ou deux (cas des ellipses et des hyperboles) sphères tangentes à la fois au plan et au cône; ce sont des sphères centrées sur l'axe, situées dans un même demi-cône (cas des ellipses) ou dans des demi-cônes opposés (cas des hyperboles).

Chacune de ces sphères définit l'un des foyers de la conique (c'est le point de tangence de la sphère et du plan) ainsi que la droite directrice associée (c'est l'intersection du plan de la conique et du plan contenant le cercle de tangence de la sphère et du cône) ; c'est le théorème de Dandelin.

  Articles connexes

• Géométrie projective
• Perspective conique
• Théorème de Dandelin
• Quadrique
• Pôle et polaire
• Compas parfait

  Bibliographie

• Michèle Audin, Geometry, Universitext, Springer, ISBN 978-3-540-43498-6
• Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions] (Tome 1)
• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, ISBN 978-2-91-635208-4
• De la Géométrie Projective à la Géométrie Euclidienne L'Hexagramme Mystique de Pascal
• Petite encyclopédie de mathématique (Ed. Didier)
• Méthodes modernes en géométrie de Jean Fresnel
• Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, C&M, ISBN 978-2-916352-12-1
• D. Lehmann et R. Bkouche, Initiation à la géométrie, PUF 1988, ISBN 2 13 040160 0
• J.-C. Sidler, Géométrie projective, InterEditions 1993

v · d · m Exemples de courbes
Coniques (cercle, ellipse, parabole, hyperbole)
Cardioïde • Cissoïde • Clothoïde • Conchoïde • Cycloïde • Épicycloïde • Folium de Descartes • Hélice Hypocycloïde (astroïde, deltoïde) • Hypotrochoïde • Néphroïde • Spirale (d'Archimède, logarithmique) • Strophoïde
Lemniscates (lemniscate de Gerono, lemniscate de Booth, lemniscate de Bernoulli, courbe du diable)
Trajectoire • Ovale de Cassini • Chaînette • Courbe brachistochrone

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