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Foncteur
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
La notion de foncteur est la généralisation aux catégories de la notion de fonction d'un ensemble dans un autre.
Définitions
Un foncteur 
d'une catégorie 
dans une catégorie 
est la donnée
- d'une fonction qui, à tout objet A de , associe un objet F(A) de ,
- d'une fonction qui, à tout morphisme
de , associe un morphisme 
de ,
qui
- respectent les identités: pour tout objet A de ,
- F(idA) = idF(A),
- respectent la composition: pour tous objets A, B et C et morphismes et
de ,
.
Un foncteur contravariant d'une catégorie dans une est un foncteur de 
dans . Pour souligner le fait qu'il n'est pas contravariant un foncteur est parfois appelé foncteur covariant.
Exemples
- Le foncteur identité d'une catégorie , souvent noté
, qui laisse les objets et les morphismes de la catégorie invariants. - Les foncteurs d'oubli qui envoient les objets d'une catégorie sur des objets d'une autre catégorie en « oubliant » certaines propriétés de ces objets :
-
- le foncteur de Ab dans Grp qui à un groupe abélien associe le groupe lui-même, mais dans la catégorie qui contient aussi les groupes non abéliens (on a « oublié » le fait que le groupe est abélien) ;
- le foncteur de Grp dans Set qui à un groupe associe l'ensemble sous-jacent (on a « oublié » la structure de groupe).
Propriétés
L'image d'un isomorphisme par un foncteur est un isomorphisme.
Catégorie : Théorie des catégories