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Producto escalar

                   

En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto (en inglés, dot product), es una operación definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

Contenido

  Definición general

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Un producto escalar se puede expresar como una expresion \langle \cdot,\cdot \rangle: V \times V \longrightarrow \mathbb{K} donde V es un espacio vectorial y \mathbb{K} es el cuerpo sobre el que está definido B. \langle \cdot,\cdot \rangle debe satisfacer las siguientes condiciones:

  1. Linealidad por la izquierda:  \langle ax+by,z \rangle = a \langle x,z \rangle + b \langle y,z \rangle , y linealidad conjugada por la derecha:  \langle x, ay+bz \rangle = \overline{a} \langle x, y \rangle + \overline{b} \langle x,z \rangle
  2. Hermiticidad:  \langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle} ,
  3. Definida positiva:  \langle x,x \rangle \geq 0 \,, y  \langle x,x \rangle = 0 \, si y sólo si x = 0,

donde x, y, z \in V son vectores de V, a, b \in \mathbb{K} representan escalares del cuerpo \mathbb{K} y \overline{c} es el conjugado del complejo c.

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., \mathbb{R}), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por (\cdot|\cdot) o por \bullet.

Un espacio vectorial sobre el cuerpo \mathbb{R} o \mathbb{C} dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio euclídeo.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:

\|x\|:= \sqrt{\langle x,x \rangle}.

  Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real

  AB = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo \theta que forman.


\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=
|\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta =
A \,B \,\cos \theta

En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es  \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}

Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.

  Proyección de un vector sobre otro

Puesto que |A| cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es |A| cos θ = proy AB, será


\mathbf A \cdot \mathbf B = |B| \left(\text{proy}A_B \right)

de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

  Ángulos entre dos vectores

La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores:


\cos \theta = {\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \over |A| \,|B|} \,

  Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.


\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=0 \qquad\Rightarrow\qquad \mathbf{A} \bot \mathbf{B}

ya que el \cos\frac{\pi}{2} = 0.

  Vectores paralelos o en una misma dirección

Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 radianes (0 grados) o de π radianes (180 grados).

Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.


\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}= A \, B \, \cos \theta  \leftrightarrow  
|\cos \theta| = 1  \leftrightarrow  
A||B \Rightarrow 
|\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}| = |A|\,|B|

  Observación

Una importante variante del producto escalar estándar se utiliza en el espacio-tiempo de Minkowski, es decir, \mathbb{R}^4 dotado del producto escalar:

\langle x , y \rangle = x_0y_0 - x_1y_1 - x_2y_2 - x_3y_3 \,.

  Propiedades del producto escalar

1. Conmutativa:


\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:


\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}+\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}

3. Asociativa respecto al producto por un escalar m:


m (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})= (m\mathbf{A}) \cdot \mathbf{B}=\mathbf{A}\cdot(m\mathbf{B})

  Expresión analítica del producto escalar

Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, tomando la base canónica en  \mathbb{R}^3 formada por los vectores unitarios {i , j , k} tenemos:


\mathbf A = A_x\mathbf i+ A_y\mathbf j+A_z\mathbf k \,


\mathbf B = B_x\mathbf i+ B_y\mathbf j+B_z\mathbf k \,

El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:


 \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}= 
 \begin{bmatrix} A_x & A_y & A_z\\\end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} B_x\\ B_y\\ B_z\\\end{bmatrix}
 = A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z\,

  Norma o Módulo de un vector

Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico considerado.

Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.


|A|^2 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} \quad\rightarrow\quad
|A| = \sqrt{\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}}

Efectuado el producto escalar, tenemos:


|A|^2 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} = (A_1,A_2,...,A_n)^2 = 
A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2 = \sum A_i^2

de modo que


|A| = \sqrt {\sum A_i^2} = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + ... + A_n^2}

Por componentes, tomando la base canónica en  \mathbb{R}^3 formada por los vectores unitarios {i, j, k}


\mathbf A = A_x\mathbf i+ A_y\mathbf j+A_z\mathbf k \,


 |A|^2 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}= 
 \begin{bmatrix} A_x & A_y & A_z\\\end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} A_x\\ A_y\\ A_z\\\end{bmatrix}
 = A_x^2+A_y^2+A_z^2\,

de modo que


|A| = \sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2} \,

  Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales

  • En el espacio vectorial \mathbb{R}^n se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=(a_1, a_2, a_3, ..., a_n)\cdot(b_1,b_2,b_3, ..., b_n)=a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... a_n b_n =  \sum a_i \cdot b_i
  • En el espacio vectorial \mathbb{C}^n se suele definir el producto interior por:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=(a_1, a_2, a_3, ..., a_n)\cdot(b_1,b_2,b_3, ..., b_n)=a_1 \overline{b_1} + a_2 \overline{b_2} + ... a_n \cdot \overline{b_n} = \sum a_i \cdot \overline{b_i}

Siendo  \overline{b_n} el número complejo conjugado de \mathbf{b_n}

  • En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con elementos reales
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\operatorname{tr} (A^T \cdot B)

donde tr(A) es la traza de la matriz B y  A^T es la matriz traspuesta de A.

  • En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con elementos complejos
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\operatorname{tr} (A^* \cdot B)

donde tr(A) es la traza de la matriz B y  A^* es la matriz traspuesta conjugada de A.

  • En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo C[a, b], acotado por a y b:
\mathbf{f}\cdot\mathbf{g} = \int_{a}^{b} f(x)\overline{g(x)}\mathrm{d} x
  • En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:

Dado \textstyle [x_1,x_2,x_3,...,x_n,x_{n+1}] \subseteq \mathbb{R} tal que \textstyle x_1<x_2<x_3<...<x_n<x_n+1 \, :

\mathbf{p}\cdot\mathbf{q} = p(x_1)q(x_1)+p(x_2)q(x_2)+...+p(x_n)q(x_n)+p(x_n+1)q(x_n+1) = \sum p(x_i) \cdot q(x_i)

  Generalizaciones

  Formas cuadráticas

Dada una forma bilineal simétrica \scriptstyle B(\cdot,\cdot) definida sobre un espacio vectorial \scriptstyle V = \R^n puede definirse un producto escalar diferente del producto escalar euclídeo mediante la fórmula:

(\mathbf{u}, \mathbf{v})_B =
\begin{bmatrix} u_1 & \dots & u_n \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix} B_{11} & \dots & B_{1n} \\ \dots & \dots & \dots \\ B_{n1} & \dots & B_{nn} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} v_1 \\ \dots \\ v_n \end{bmatrix} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n B_{ij} u_i v_j

Donde:

B_{ij} := B(\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j)
\{ \mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n \} es una base del espacio vectorial \scriptstyle V

Puede comprobarse que la operación anterior \scriptstyle ( \cdot,\cdot )_B:V\times V \to \R satisface todas las propiedades que debe satisfacer un producto escalar.

  Tensores métricos

Se pueden definir y manejar espacio no-euclídeos o más exactamente variedades de Riemann, es decir, espacios no-planos con un tensor de curvatura diferente de cero, en los que también podemos definir longitudes, ángulos y volúmenes. En estos espacios más generales se adopta el concepto de geodésica en lugar del de segmento para definir las distancias más cortas en entre puntos y, también, se modifica ligeramente la definición operativa del producto escalar habitual introduciendo un tensor métrico \scriptstyle g:\mathcal{M}\times T\mathcal{M} \times T\mathcal{M} \to \R, tal que la restricción del tensor a un punto de la variedad de Riemann es una forma bilineal \scriptstyle g_x(\cdot,\cdot) = g(x;\cdot,\cdot).

Así, dados dos vectores campos vectoriales \bold{u} y \bold{v} del espacio tangente a la variedad de Riemann se define su producto interno o escalar como:


\langle \bold{u} , \bold{v} \rangle = g_x(\bold{u},\bold{v}) = 
\sum_i\sum_j g_{ij}(x)u_i u_j

La longitud de una curva rectificable C entre dos puntos A y B se puede definir a partir de su vector tangente \scriptstyle \bold{T} de la siguiente manera:

L_C = \int_{s_a}^{s_b} \sqrt{g(\bold{x},\bold{T},\bold{T})}\ ds =
\int_{s_a}^{s_b} \sqrt{g_{ij}\frac{dx^i}{ds} \frac{dx^i}{ds}}\ ds

  Véase también

  Referencias

  Bibliografía

  • Ortega, Manuel R. (1989-2006) (en español). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
  • Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001) (en inglés). Physics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9. 
  • Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004) (en inglés). Physics for Scientists and Engineers (6ª edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. 
  • Tipler, Paul A. (2000) (en español). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3. 
  • Navarro Camacho, Jorge y otros (julio 2007) (en español). Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria ; Matemáticas (Volumen III). MAD. ISBN 84-665-7931-1,. 
  • Marsden, J.E.;Tromba, A.J. (2004) (en español). Cálculo vectorial (5ª edición). Pearson educación, S.A.. ISBN 84-7829-069-9. 
  • Reinhardt, Fritz;Soeder,Heinrich (1984) (en español). Atlas de matemáticas 1.Fundamentos,álgebra y geometría (2 tomos). Alianza universidad. ISBN 84-206-6203-8, ISBN 84-206-6998-9. 

  Enlaces externos

   
               

 

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